Un problema tipo Northcott

Abstract

Sea Qa la cerradura algebraica de Q y consideremos h: Qa → R≥0 la altura logarítmica absoluta, función que se define en la Sección 4.2. En 2001, Enrico Bombieri y Umberto Zannier definen que: un subconjunto A ⊆ Qa tiene la propiedad de Northcott si para toda T ∈ R>0 el conjunto A(T) = {α ∈ A : h(a) ≤ T} es finito. En la Sección 5.1 se demuestra que si K es una extensión finita de Q entonces para cada T ∈ R>0 la cantidad de elementos α ∈ K con h(α) ≤ T es finita. Esto se conoce como el Lema de Northcott. Por lo anterior es natural el problema de saber si existen extensiones infinitas sobre Q que tengan la propiedad de Northcott. En su artículo [1], Bombieri y Zannier construyen extensiones infinitas con tal propiedad. El propósito de esta tesis en estudiar estos resultados.