Del Número de Soluciones de la Ecuación de Thue

Abstract

Una ecuación diofántica es una ecuación de la forma f(X1, . . . , Xn) = 0 donde f es una función, usualmente un polinomio de coeficientes enteros, y se buscan soluciones enteras; es natural hacernos ciertas preguntas sobre estas ecuaciones, por ejemplo: 1) ¿La ecuación tiene solución? 2) ¿Cuántas soluciones tiene? 3) ¿Es posible encontrar todas las soluciones? El ejemplo más sencillo de una ecuación diofántica es p(X) = 0 donde p(X) = anXn + · · · + a0 es un polinomio en una variable, para este caso sabemos que hay a lo más n soluciones enteras (o racionales), más aún, hay un criterio para saber qué números racionales pueden ser solución de la ecuación cuando los coeficientes del polinomio son enteros. Teorema 0.1. Sea f(X) = anXn+an−1Xn−1+· · ·+a0 ∈ Z[X], con a0, an 6= 0 y si x =pq con (p, q) = 1 es raíz de f(X) entonces p|a0 y q|an. Así, para encontrar los enteros qué satisfacen la ecuación sólo hace falta probar con los divisores del término independiente, por lo tanto, tratándose de esta ecuación tenemos respuesta a las tres preguntas. Otro ejemplo sencillo es la ecuación aX + bY = c es decir una ecuación linear en dos variables con coeficientes enteros, para esta ecuación sabemos que si c = 0 las parejas (nb, −na) satisfacen la ecuación. Por otro lado, si c 6= 0 tenemos el siguiente resultado